2. Вычисление объемов и поверхностей при помощи двойного интеграла
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Основные сведения из теории
Объем цилиндрического тела
Двойной интеграл 
равен объему цилиндрического тела, ограниченного с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz. Направляющей ее служит контур (l), ограничивающий область интегрирования (σ), лежащую в плоскости xOy и являющуюся нижним основанием этого цилиндрического тела. Сверху тело ограничено поверхностью, определяемой уравнением
Таким образом, объем такого цилиндрического тела
В этой формуле 
есть правая часть уравнения (A), то есть уравнения той поверхности, которая сверху ограничивает цилиндрическое тело. Формулу (2,1) удобно записать в виде
Если вычисление ведется в полярных координатах, то эта формула имеет вид
Предполагается, что функция — непрерывна и однозначна в области (σ). (Цилиндрическое тело, о котором идет речь, называется также криволинейным цилиндром по аналогии с криволинейной трапецией, а иногда цилиндрическим брусом).
Если область интегрирования (σ) находится в плоскости xOy, то уравнение поверхности, которое сверху ограничивает цилиндрическое тело, должно быть решено относительно переменной z.
Площадь кривой поверхности
Если поверхность определяется уравнением 
то площадь той части поверхности, которая проектируется на плоскость xOy в область (σ), вычисляется по формуле
Предполагается, что функция непрерывна и однозначна в области (σ) и имеет в этой области непрерывные частные производные 
и 
Обыкновенно вводят обозначения 
а потому формулу (2,4) можно записать и так:
Для упрощения вычислений иногда выгодно проектировать поверхность, площадь которой вычисляется, не на плоскость xOy, а на плоскость yOz или на плоскость xOz. Тогда уравнение поверхности следует решить в первом случае относительно переменной x, во втором — относительно переменной y, а формула (2,4) запишется соответственно так:
Для применения формул (2,1)–(2,6) следует прежде всего проверить, является ли цилиндрическим тело, объем или поверхность которого вычисляется, какая поверхность ограничивает его сверху, знать ее уравнение, а также установить область (σ), на которую распространяется интегрирование, вычертить эту область на отдельном чертеже и найти уравнение линии (l) — контура области (σ). Следует иметь в виду, что в частном случае образующие боковой цилиндрической поверхности могут быть равны нулю.
к повторному интегралу и выполняя первое интегрирование по переменной x, а второе по переменной y. будем иметь
за знак интеграла,
плоскость, параллельная оси Oz, а остальные поверхности — координатные плоскости.
до 
а y изменяется от 0 до 3. Поэтому
от эллиптического параболоида
перед корнем удержан знак плюс, так как в первом октанте 
получим, решив совместно уравнения параболоида и плоскости хОy
Новыми пределами интегрирования будут 0 и 
а
и 
а его площадь 
Пройти тестирование по этим заданиям