Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 4 № 1680
i

За­да­ча 2,3. Найти объем тела, от­се­ка­е­мо­го плос­ко­стью y=b от эл­лип­ти­че­ско­го па­ра­бо­ло­и­да

y= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: z в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: c в квад­ра­те конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Чет­верть тела, ле­жа­щую в пер­вом ок­тан­те, можно рас­смат­ри­вать как ци­лин­дри­че­ское тело с об­ра­зу­ю­щи­ми, рав­ны­ми нулю. Урав­не­ние по­верх­но­сти, огра­ни­чи­ва­ю­щей тело свер­ху, решим от­но­си­тель­но z и вы­чис­лим объем чет­вер­ти тела, ле­жа­ще­го в пер­вом ок­тан­те. Из урав­не­ния по­верх­но­сти па­ра­бо­ло­и­да z= дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: a конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та y минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , перед кор­нем удер­жан знак плюс, так как в пер­вом ок­тан­те z боль­ше или равно 0.

На плос­ко­сти xOy тело вы­ре­за­ет па­ра­бо­лу, урав­не­ние ко­то­рой y= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби по­лу­чим, решив сов­мест­но урав­не­ния па­ра­бо­ло­и­да и плос­ко­сти хОy

си­сте­ма вы­ра­же­ний y= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: z в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: c в квад­ра­те конец дроби , z=0. конец си­сте­мы .

Имеем:

дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: a конец дроби при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b, конец ар­гу­мен­та dx при­над­ле­жит t пре­де­лы: от \tfracx в квад­ра­те a в квад­ра­те до b, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те y минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та dy.

Внут­рен­ний ин­те­грал

при­над­ле­жит t\limits_ минус \tfracx в квад­ра­те a в квад­ра­те в сте­пе­ни b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те y минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та d y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 a в квад­ра­те конец дроби левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те b минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac3 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 .

По­это­му

дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 c, зна­ме­на­тель: 3 a в кубе конец дроби при­над­ле­жит t\limits_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те b минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка d x.

Здесь удоб­на под­ста­нов­ка x=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та синус t. Но­вы­ми пре­де­ла­ми ин­те­гри­ро­ва­ния будут 0 и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а

дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a b в квад­ра­те c при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до \tfrac Пи , 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t d t.

Ин­те­грал

при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до \tfrac Пи , 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t d t= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Тогда

V= дробь: чис­ли­тель: Пи a b в квад­ра­те c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \text куб. ед.

Если пе­ре­ме­нить по­ря­док ин­те­гри­ро­ва­ния, то

дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c, зна­ме­на­тель: a конец дроби при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до b, d y при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y, конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та y минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка d x.

Внут­рен­ний ин­те­грал

при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y, конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та y минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка d x= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та y минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­да­чу можно ре­шить, и не при­бе­гая к двой­но­му ин­те­гра­лу. Пе­ре­се­чем тело плос­ко­стью, пер­пен­ди­ку­ляр­ной оси Oy. Се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся эл­липс, опре­де­ля­е­мый урав­не­ни­ем

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: z в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: c в квад­ра­те y конец дроби =1, y = const конец си­сте­мы .

ко­то­рое по­лу­ча­ет­ся из урав­не­ния па­ра­бо­ло­и­да, если обе его части раз­де­лить на y. По­лу­оси этого эл­лип­са равны: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та и c ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та , а его пло­щадь S= Пи a c y.

Зная пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния, объем тела най­дем по фор­му­ле

V= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от a до b, S левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка d y.

В нашем слу­чае

V= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до b, Пи a c y d y= Пи a c при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до b, y d y= дробь: чис­ли­тель: Пи a b в квад­ра­те c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \text куб. ед.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025