РЕШУ УРОК, высшая математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 4 № 1679 Добавить в вариант

Задача 2,2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

$z=4 x в квадрате плюс 2 y в квадрате плюс 1,$

$x плюс y минус 3=0,$

$x=0,$

$y=0,$

$z=0.$

Спрятать решение

Решение.

Первая поверхность  — эллиптический параболоид. у которого осью симметрии является ось Oz. Он пересекает ее в точке (0; 0; 1). Над плоскостью xOy параболоид приподнят на одну единицу масштаба, поверхность $x плюс y минус 3=0$ плоскость, параллельная оси  Oz, а остальные поверхности  — координатные плоскости.

На плоскости xOy тело вырезает треугольник, ограниченный координатными осями и прямой $x плюс y минус 3=0.$

Объем тела вычисляется по формуле (2,2), в которой область интегрирования (σ)  — указанный треугольник, а z надо заменить его значением из уравнения той поверхности, которая сверху ограничивает тело,

$V=\iint\limits_ левая круглая скобка \sigma правая круглая скобка левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс 2 y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка d x d y.$

Преобразуем двойной интеграл в повторный, причем первое интегрирование (внутреннее) будем вести по переменной x, а второе (внешнее) по переменной y.

При постоянном y переменная x изменяется от $x=0$ до $x=3 минус y,$ а y изменяется от 0 до 3. Поэтому

$V= принадлежит t пределы: от 0 до 3, d y принадлежит t пределы: от 0 до 3 минус y, левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс 2 y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка d x. \qquad левая круглая скобка A правая круглая скобка$

Вычисляем внутренний интеграл

$принадлежит t пределы: от 0 до 3 минус y, левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс 2 y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка d x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 2 x y в квадрате плюс x|_0 в степени левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка в кубе плюс 2 левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка y в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка =39 минус 37 y плюс 18 y в квадрате минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби y в кубе .$ $принадлежит t пределы: от 0 до 3 минус y, левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс 2 y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка d x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 2 x y в квадрате плюс x|_0 в степени левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка в кубе плюс 2 левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка y в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус y правая круглая скобка =$
$=39 минус 37 y плюс 18 y в квадрате минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби y в кубе .$

Подставляя это значение внутреннего интеграла в выражение (A), получаем

$V= принадлежит t пределы: от 0 до 3, левая круглая скобка 39 минус 37 y плюс 18 y в квадрате минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби y в кубе правая круглая скобка d y=39 y минус дробь: числитель: 37, знаменатель: 2 конец дроби y в квадрате плюс 6 y в кубе минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка |_0 в кубе =$
$=39.3 минус дробь: числитель: 37, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 плюс 6 умножить на 27 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 81=45 \text куб. ед.$ $V= принадлежит t пределы: от 0 до 3, левая круглая скобка 39 минус 37 y плюс 18 y в квадрате минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби y в кубе правая круглая скобка d y=$
$=39 y минус дробь: числитель: 37, знаменатель: 2 конец дроби y в квадрате плюс 6 y в кубе минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка |_0 в кубе =$
$=39.3 минус дробь: числитель: 37, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 плюс 6 умножить на 27 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 81=45 \text куб. ед.$

Спрятать решение · Помощь