РЕШУ УРОК, высшая математика: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
26. Дифференцирование гиперболических и неявных функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 2 № 845 Добавить в вариант

Основные сведения из теории

Предыдущие практические занятия убедили читателя в широком применении при решении разобранных задач показательной функции $e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Но кроме самой этой функции как в математике, так и в прикладных науках применяются различные комбинации ее с функцией $e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка .$

По определению вводятся такие часто встречающиеся комбинации функций $e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка :$

1)   $дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ называется гиперболическим синусом x и обозначается символом $\sh x:$

$\sh x= дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус бесконечность меньше x меньше плюс бесконечность правая круглая скобка , \qquad левая круглая скобка 26,1 правая круглая скобка$

2)   $дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ называется гиперболическим косинусом x и обозначается символом $\ch x:$

$\ch x= дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус бесконечность меньше x меньше плюс бесконечность правая круглая скобка , \qquad левая круглая скобка 26,2 правая круглая скобка$

3)   $дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби$ называется гиперболическим тангенсом x и обозначается символом $\th x:$

$\th x= дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка минус бесконечность меньше x меньше плюс бесконечность правая круглая скобка , \qquad левая круглая скобка 26,3 правая круглая скобка$

4)   $дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби$ называется гиперболическим котангенсом x и обозначается символом $\cth x$

$\cth x= дробь: числитель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка минус бесконечность меньше x меньше 0 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0 меньше x меньше плюс бесконечность правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 26,4 правая круглая скобка$

Производные гиперболических функций вычисляются по формулам:

$y=\sh u,$

$y'=\ch u умножить на u', \qquad левая круглая скобка 26,5 правая круглая скобка$

$y=\ch u,$

$y'=\sh u умножить на u', \qquad левая круглая скобка 26,6 правая круглая скобка$

$y=\th u,$

$y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: \ch в квадрате u конец дроби умножить на u', \qquad левая круглая скобка 26,7 правая круглая скобка$

$y=\cth u,$

$y'= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \sh в квадрате u конец дроби умножить на u'. \qquad левая круглая скобка 26,8 правая круглая скобка$

Эти формулы следует запомнить.

Помощь

Тип 2 № 846 Добавить в вариант

Задача 26,1. Доказать, что функции $\sh x,$ $\th x$ и $\cth x$   — нечетные, а функция $\ch x$   — четная.

Указание. В формулах (26,1)–(26,4) заменить x на –x и убедиться, что

$\sh левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус \sh x,$

$\th левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус \th x,$

$\cth левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус \cth x,$

$\ch левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =\ch x.$

Решение · Помощь

Тип 2 № 847 Добавить в вариант

Задача 26,2(1). Вычислить производную функции $y=\sh в квадрате x.$

Решение · Помощь

Тип 2 № 848 Добавить в вариант

Задача 26,3(1). Вычислить производную функции $y = \ch в кубе x.$

Решение · Помощь

Тип 2 № 2089 Добавить в вариант

Дифференцирование неявных функций

Если независимая переменная x и функция y связаны уравнением вида $f левая круглая скобка x, y правая круглая скобка =0,$ которое не разрешено относительно  y, то  y называется неявной функцией  x.

Несмотря на то, что уравнение $f левая круглая скобка x, y правая круглая скобка =0$ не разрешено относительно  y, оказывается возможным найти производную от  y по  x.

Прием для нахождения производной в случае, когда функция задана неявно состоит в том, что обе части уравнения $f левая круглая скобка x, y правая круглая скобка =0$ дифференцируются по x с учетом, что y есть функция  x, и из полученного уравнения определяется  y'.

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям